Hちょびよみ勉強ノート(9回目)

前回の続き。
前回はぐるぐるの図(可換図式)を書いて整数Zの足し算の性質のうち

• 関数 add: Z × Z → Z が存在する
• ある特殊な集合 0Z が存在して zero: 0Z → Z が一つだけ存在する
• 0Z × Z → Z となる(0 + a = a, a ∈ Z 的な意味) add・(zero, id): 0Z×Z → Z×Z → Z と right: 0Z×Z → Z が可換

をやった。

けど、足し算を言うには

• a + 0 = a*1
• a + (-a) = 0
• (-a) + a = 0

も言わないとダメっぽい。

a + 0 = a

前回 0Z × Z を逆にしただけ

a + (-a) = 0

ある整数にその整数の負の数を足すと0になる。

neg: Z     → Z
    (∋ a)   (∋ -a)

と言う関数をまず置く。
negってnegativeの事なんでしょ？とか負の数とはみたいなことは全て忘れて「えぬいーじーと言う関数は整数から整数への関数なんだって〜」というぐらい頭真っ白にする。

で、このnegとかいう関数を使って「a + (-a) = 0」と言う性質を図式で表すと

こう。

上からたどると「aがaと-aになってa+(-a)が0になる」となって、下からたどると「aを問答無用で0にして、0を0にする」となって、上から辿っても下から辿っても結果が同じなので良いという感じ…でいいのかな。

0Zを終対象 集合の圏の終対象*2 *3 と言うとか何とか言ってた気がするけど分かりません…。

※ 上の図で「右はそのまま、左はnegの結果」とか書いてありますが思っきり逆であることに図を作ってから気づいたものの直すの面倒なので読み替えてください。

(-a) + a = 0

上の図の id × neg を逆にするだけ。

*1:前回の逆

*2:https://twitter.com/cocoatomo/status/534284227261370370

*3:元が1つだけの集合の事で『1』とも書くけど今はややこしいので『0Z』って書いてるんですよと @cocoatomo さんから指摘があったので更に追記